简介

有一棵树,其树上的每个节点有一个值,且每个节点的这个值都大于等于(小于等于)其父亲上的值。
那么,我们就把这颗特别的树叫做一个“堆”。
如果,节点值是大于等于其父亲的值,那么我们就叫做小根堆;反之节点值小于等于其父亲的值,那么我们就叫做大根堆。

堆
这是一个小根堆

堆
这也是堆(一个大根堆

对于一个基本的堆,它可以支持:插入一个元素,输出最大(小)值,删除最大(小)值。
C++中堆的操作
如以上就是C++ STL中堆的操作。

堆有很多种类,如对顶堆、斐波那契堆……但在这篇博客中,让我们关注一个最基本的堆:二叉堆。

二叉堆

对于二叉堆而言,它是一颗二叉树。
但是二叉树并不够好。正如上面第二个堆,完全退化成了一条链。对此,我们还希望它是一个完全二叉树。
当然了,它同样需要具有堆的性质!

每个节点的这个值都大于等于(小于等于)其父亲上的值

而对于这颗二叉树而言,树根就是它最大(最小)的元素!

为了方便,接下来都会是一个大根堆

还记得吗?对于一个堆,它需要有一些基本的操作:插入一个元素,输出最大值,删除最大值。让我们来一个个的解决吧。

姆好吧……或许在这之前,我们先来看一看怎么存储一颗二叉树吧!

存储

我们线想想一棵二叉树的节点需要存储些什么:

  1. 父亲
  2. 左子节点
  3. 右子节点

或许你会想到数组存子节点、指针、广义表、图……但,在二叉树中,其实都有点麻烦了。毕竟二叉树有个很强的性质:它只有两个子节点!
让我们想想怎么利用这点。

不知道有没有注意到…数字中就有一种能自然两两配对的东西?不要想复杂了,那便是:奇数和偶数!

对此,我们不妨把所有左节点都存在偶数位置,所有奇数节点都存在奇数位置。并且,当左节点为2k2k时,右节点为2k+12k+1。现在,我们只需要知道左节点位置和父亲就行了。

但是……或许我们也不需要?让我们注意:2k2k,我们为何不直接把父亲放在kk处呢?这样,父亲2*2就能到左节点,再加一就能到右节点诶!

而子节点则直接2k2\frac{2k}{2}就能找到父亲。(2k+12\frac{2k+1}{2}中的12\frac{1}{2}被直接舍去了。如果你用的是大蟒蛇,记得用整除)

对此我们得出了一种如下的存储方式:
对于一个二叉树,其根节点位置为1.对于位置为kk的节点,其左子树为2k2k,右节点为2k+12k+1,父亲为k2\frac{k}{2}

最大值

这是最简单的一个了。正如我们见到的,它根节点的元素一定是最大的那个。
毕竟,堆的性质节点的这个值大于等于其父亲上的值,告诉我们:如果除根节点外有一个比根更大的值,那么这条性质必然会被违反!
对此,我们只需要简单的输出根节点就行了。

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ValueT top()
{
return m_data[1];
}

插入

我们不妨假设现在已经有一个合法的堆。我们要向其中插入一个元素的话,直接找到合法位置并不是那么容易。对此,我们不妨破坏堆的一些性质,然后再慢慢的恢复它。

那该破坏哪条呢?

让它不是个二叉树?

让它不是个完全二叉树?不是不行,但是把一颗不完美的二叉树变成完美二叉树同时保持大小关系是很难的,要分割,旋转,跳跃,我闭着眼

那我们智能勉为其难的破坏大小关系了。

那……该插在哪呢?要让它保持一颗完美二叉树,只能插在最后一层的最右端。恰巧的是,我们发现这正好对应着向数组末尾再加入一个元素!

(为什么呢?该树是满的,所以数组中并没有空位。因此最后一层最后面那个节点一定是下表最大的。其上方所有节点都是它的二分之一以下,左边的2k2k中的k都比它小,右节点移动再左节点右边、)

m_data.push_back(data);

现在我们该开始考虑怎么维护性质了。注意到此时有两种情况:

  1. 新节点小于等于父节点
    新节点小于等于父节点
    那感情好,我们什么都不用动,它已经是一个堆了
  2. 新节点大于父节点
    新节点大于父节点
    哦不……我们不得不调整了QAQ

不过不要担心,我们只需要交换父节点与新节点,那么至少对于这颗子树而言,这个性质就成立了嘛!
交换节点
但是……对于上面依然不成立啊……但是,只要我们交换,道路就会不断延伸。所以,不要停下来啊!
继续交换
现在就可以停下来了(点头

于是,我们成功维护了它的性质!
此处附上一张动图(来自oi-wiki)

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void push(ValueT data)
{
m_data.push_back(data);
m_size++;
size_t now=m_size;
size_t fa=now/2;
while (fa!=0&&!cmp(m_data[now],m_data[fa]))
{
std::swap(m_data[now],m_data[fa]);
now=fa;
fa=now/2;
}
}

删除

的确,我们可以直接删除根节点。但是……这样就把一棵树分成两颗了喂!QAQ

而且,数组中删除首元素也不是特别简单的。

对此,我们能不能把插入反过来,把根节点慢慢移到最后面,然后直接pop_back就完事了嘛!

但是实际上……这么搞也不太得行。因为你想要移到最后面,必然和右节点交换。万一右节点小于左节点了咋整?
右节点小于左节点
遇到困难睡大觉

对此,我们不妨来找一个“替罪羊”。就决定是你了!最后一个节点!
让我们交换头尾,然后我们再对这个新的“根”随便调整就好了。

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std::swap(m_data[1],m_data[m_size]);
m_data.pop_back();

对此,我们找到这个新堆的左右两个子节点中较大的那一个,然后不断与其交换直到满足性质即可。

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void pop()
{
std::swap(m_data[1],m_data[m_size]);
m_data.pop_back();
m_size--;

size_t now=1;
while (now*2<=m_size)
{
size_t p=now*2;

if (now*2+1<=m_size&&cmp(m_data[now*2],m_data[now*2+1]))
{
p=now*2+1;
}
if (!cmp(m_data[now],m_data[p]))
{
break;
}

std::swap(m_data[now],m_data[p]);
now=p;
}
}

复杂度

对于一个完全二叉树,当其有n个节点时,层数为log(n)层。
对于输出最值,为O(1)O(1)(直接输出)
而对于插入和删除,由于每次调整最多与层数相同,故为O(log(n))O(log(n))

附加:建堆

对于建堆过程,一个一个插入需要O(nlogn)O(nlogn)的复杂度。有没有办法更优秀呢?
答案是肯定的。由于堆的性质比较弱,我们完全可以在O(n)O(n)建堆。
具体方法是假设每个叶子节点都是合法的,然后一层层向下调整即可。

完整代码&&验证

代码

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#pragma once

#include "../queue.hpp"
#include <cstddef>
#include <functional>
#include <utility>

namespace my_lib
{

template <typename ValueT, typename Container = deque<ValueT>, class Comp = std::less<ValueT>> class heap
{

public:
private:
Container m_data;
size_t m_size;
Comp cmp;

public:
heap()
{
m_data.push_back(0);
}

heap(std::initializer_list<ValueT> init)
{
m_data.push_back(0);
for (auto i : init)
{
push(i);
}
}

template <class InitCont> heap(InitCont init)
{
m_data.push_back(0);
for (auto i : init)
{
push(i);
}
}

heap(const heap &rhs)
{
m_data = rhs.m_data;
m_size = rhs.m_size;
}

heap(heap &&rhs)
{
m_data = rhs.m_data;
m_size = rhs.m_size;
}

heap &operator=(const heap &rhs)
{
m_data = rhs.m_data;
m_size = rhs.m_size;
return *this;
}

heap &operator=(const heap &&rhs)
{
m_data = rhs.m_data;
m_size = rhs.m_size;
return *this;
}

public:
size_t size()
{
return m_size;
}

ValueT top()
{
return m_data[1];
}

void push(ValueT data)
{
m_data.push_back(data);
m_size++;
size_t now = m_size;
size_t fa = now / 2;
while (fa != 0 && !cmp(m_data[now], m_data[fa]))
{
std::swap(m_data[now], m_data[fa]);
now = fa;
fa = now / 2;
}
}

void pop()
{
std::swap(m_data[1], m_data[m_size]);
m_data.pop_back();
m_size--;

size_t now = 1;
while (now * 2 <= m_size)
{
size_t p = now * 2;

if (now * 2 + 1 <= m_size && cmp(m_data[now * 2], m_data[now * 2 + 1]))
{
p = now * 2 + 1;
}
if (!cmp(m_data[now], m_data[p]))
{
break;
}

std::swap(m_data[now], m_data[p]);
now = p;
}
}
};

}; // namespace my_lib

验证

AC
AC